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La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $y_v$. Como $a<0$ la imagen tendrá la forma $\text{Im}f = (-\infty, y_v]$.
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
c) $f(x)=-(x-2)(x+5)$
c) $f(x)=-(x-2)(x+5)$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es factorizada: $f(x) = a (x-x_1)(x-x_2)$, donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces o ceros de la función.
De la fórmula podemos obtener las raíces, (siempre cambiándoles el signo que tienen en la función) fijate que:
Para $f(x)=-(x-2)(x+5)$ las raíces son $x_1=2$ y $x_2=-5$. Esto ya lo vimos en el video de funciones cuadráticas, así que si tenés dudas miralo ahí.
El vértice de la función se encuentra en el punto $(Xv, Yv)$. Y en el video también vimos como calcular la coordenada $x_v$ cuando tenemos de dato las raíces o ceros de una función cuadrática de dato, como en este caso. Podemos calcularla con la fórmula $x_v=\frac{x_1+x_2}{2}$.
$x_v=\frac{2+(-5)}{2}$
$x_v=\frac{2-5}{2}$
$x_v=-\frac{3}{2}$
Sustituyendo este valor en la función encontramos $y_v = f(-\frac{3}{2})$
$y_v = -(-\frac{3}{2}-2)(-\frac{3}{2}+5)$
$y_v = -(-\frac{7}{2})(\frac{7}{2})$
$y_v =\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$
$y_v = \frac{49}{4}$
$V = (-\frac{3}{2}, \frac{49}{4}$)$
$\text{Im}f = (-\infty, \frac{49}{4}]$
Los intervalos en los que la función es creciente y decreciente dependen del signo de $a$ y el valor de $x_v$. Como $a < 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (-\infty, x_v)$ e $I\downarrow = (x_v, +\infty)$.
$I\uparrow = (-\infty, -\frac{3}{2})$
$I\downarrow = (-\frac{3}{2}, +\infty)$
ExaComunidad
Camila
12 de mayo 18:16
profe a mi me paso lop mismo que a Fernando, me da uno positivo y el otro negativo ypor eso el resultado me queda en (-49/4)
1 respuesta
Fernando
10 de mayo 24:34
Hola en Yv ¿por que (-3/2 +5) no da 7/2? y en el ejercicio está resuelto como - (-7/2 ). (-7/2). desde ya muchas gracias
2 respuestas
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